প্রমাণ কর যে √2, √3, √5 ও √7 একটি অমূলদ সংখ্যা

প্রিয় শিক্ষার্থী ভাই ও বোনেরা, কেমন আছেন সবাই? আশা করি ভালো আছেন। আজকে গণিতের খুবই মজার একটি বিষয় আপনাদের সাথে শেয়ার করবো। তা হলো একটি প্রতিজ্ঞা। প্রমাণ কর যে √3 একটি অমূলদ সংখ্যা । আজকে এই প্রতিজ্ঞাটি আমরা খুব সহজেই শিখবো। একই সাথে √2, √5 এবং √7 এর প্রমাণও শিখবো।

মূলত √2,√3,√5 এবং √7 এর প্রমাণ একই রকম। আমি আপনাদের √3 এর প্রমাণ দেখাবো। আসলে এই গাণিতিক প্রতিজ্ঞাটি স্যাররা ক্লাসে করান। কিন্তু অনেক শিক্ষার্থী সেই প্রমাণটি বা ক্যালকুলেশনটি বুঝতে পারেনা। আর তাই আজ এই বিষয় নিয়ে লেখা। আমরা আজকে বিস্তারিতভাবে এই √3 অমূলদ সংখ্যা এর প্রমাণ শিখবো।

√3 একটি অমূলদ সংখ্যা

প্রথমেই আমাদের কিছু মৌলিক বিষয় জানতে হবে। যেই বিষয়গুলো না জানার কারণে ক্লাসে আমরা এই প্রতিজ্ঞাটির প্রমাণ বুঝতে পারিনা। তো চলুন এক এক করে তা জেনে নেই।

মূলদ সংখ্যা কি?

মূলদ সংখ্যা হচ্ছে সেই সকল বাস্তব সংখ্যা যাদের 

আকারে প্রকাশ করা যায়। যেখানে p এবং q উভয় পূর্ণ সংখ্যা এবং q≠0। অর্থাৎ মূলদ সংখ্যাকে দুইটা পূর্ণসংখ্যার ভাগ আকারে বা ভগ্নাংশ আকারে লেখা যায়।

অমূলদ সংখ্যা কি?

অমূলদ সংখ্যা হচ্ছে সেইসকল সংখ্যা যাদেরকে দুইটা পূর্ণসংখ্যার ভাগ আকারে বা ভগ্নাংশ আকারে লেখা যায়না। অর্থাৎ অমূলদ সংখ্যাকে p/q আকারে লেখা যায়না। যেখানে p এবং q পূর্ণসংখ্যা এবং q≠0।

মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা সম্পর্কে বিস্তারিত জানুন….

স্বাভাবিক সংখ্যা কি?

এক কথায় বলতে গেলে, স্বাভাবিক সংখ্যা হচ্ছে ১,২,৩,৪,৫,৬……….. ইত্যাদি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। এখানে কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা থাকবেনা (-১,-২,-৩ ইত্যাদি ঋণাত্মক সংখ্যা)। স্বাভাবিক সংখ্যার কোনো শেষ নেই অর্থাৎ স্বভাবিক সংখ্যা অসীম।

উইকিপিডিয়া মতে, “গণিতে স্বাভাবিক সংখ্যা হলো সেইসব পূর্ণসংখ্যা যা গণনার কাজে (যেমন ৫টি আপেল) বা ক্রম নির্দেশ করতে (যেমন চট্টগ্রাম বাংলাদেশের ২য় বৃহত্তম শহর) ব্যবহার করা হয়“। অর্থাৎ এখানে ঋণাত্মক মানের কোনো স্থান নেই।

তবে স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে শূন্য (০) কে অন্তর্ভুক্ত করা নিয়ে মতবেধ রয়েছে। তবে সাধারণত শূন্যকে স্বাভাবিক সংখ্যা হিসেবে ধরা হয়না। স্বাভাবিক সংখ্যাকে N দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

সহমৌলিক সংখ্যা কি?

স্বাভাবিক সংখ্যার পর আমাদের জানতে হবে সহমৌলিক সংখ্যা কি? বা পরস্পর সহমৌলিক সংখ্যা কাকে বলে?

উইকিপিডিয়া মতে, “সহ-মৌলিক (Co-Prime) সংখ্যা হল এমন দুইটি ধনাত্নক পূর্ণ সংখ্যা যাদের মধ্যে ১ ব্যতীত কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই।”

অর্থাৎ এরকম (সহমৌলিক) সংখ্যাগুলোকে কখনো কাটাকাটি করা যায়না। আর আমরা জানি, যেই সংখ্যাগুলোকে কাটাকাটি করা যায়না তাদের ভাগফল সবসময়ই দশমিক সংখ্যা হয়।

যেমনঃ ৫ এবং ২ সংখ্যা দুটি সহমৌলিক সংখ্যা। ৫ এর উৎপাদক ১,৫। আর ২ এর উৎপাদক ১,২। ৫ কে ২ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হবে ২.৫। যা একটি দশমিক সংখ্যা।

আরো পড়তে পারেন….

• বেফাক পরীক্ষার রেজাল্ট দেখার নিয়ম কানুন 2023
• প্রতিবেদন কি ও প্রতিবেদন লেখার নিয়ম
• বোর্ড চ্যালেঞ্জ করার নিয়ম ২০২৩ | খাতা পুনঃনিরীক্ষণের আবেদন
• নম্বর সহ পরীক্ষার রেজাল্ট দেখার নিয়ম | সবার আগে ফলাফল দেখুন
• কলেজে ভর্তির নিয়ম ২০২৩ | একাদশ শ্রেণিতে ভর্তির নতুন নিয়ম

√3 অমূলদ সংখ্যা এর প্রমাণ

মনে করি, √3 একটি মূলদ সংখ্যা
তাহলে, √3=p/q; যেখানে p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা এবং পরস্পর সহমৌলিক এবং q>1

(√3)²=(p/q)² [উভয় পক্ষে বর্গ করে]
বা, 3=(p²)/(q²)
বা, 3=(p²)/q.q
বা, 3q=(p²)/q

এখানে 3q অবশ্যই একটি পূর্ণসংখ্যা। কারণ, 3 একটি পূর্ণসংখ্যা এবং q একটি পূর্ণসংখ্যা। দুইটি পূর্ণসংখ্যার গুণফল সবসময়ই পূর্ণসংখ্যা হয়। কিন্তু, (p²)/q পূর্ণসংখ্যা নয়। কারণ, p ও q পরস্পর সহমৌলিক। তাই এদের ভাগ করলে ভাগফল দশমিক সংখ্যা হবে, পূর্ণসংখ্যা নয়।

তাহলে, 3q আর p²/q সমান হতে পারেনা। অর্থাৎ √3, p/q আকারের কোনো সংখ্যাই হতে পারেনা। কারণ, সেখান থেকে সমাধান করলে আমরা 3q=p²/q এর মতো ভুল মান পাই।

আরো পড়ুনঃ যোগ বিয়োগ গুণ ভাগ কোনটা আগে? BODMAS নিয়মটিও ভুল

যেহেতু, √3, p/q আকারের সংখ্যা হবেনা অর্থাৎ এটি মূলদ সংখ্যা নয়। সুতরাং √3 অমূলদ সংখ্যা।

কেনো q>1 হতে হবে?

প্রদত্ত শর্তে অবশ্যই q এর মান 1 এর থেকে বড় হতে হবে। কারণ q এর মান একের কম হলে তা 1,0,-1,-2,-3,-4….. ইত্যাদি হতে পারে। মনে রাখতে হবে p/q এর মধ্যে p লব এবং q হর।

হরের মান কখনো 1 হতে পারবেনা। কারণ হরের মান 1 হলে তা ভগ্নাংশ সংখ্যা থাকবেনা। তখন তা পূর্ণসংখ্যা হয়ে যাবে। উল্লেখ্য, প্রত্যেক পূর্ণসংখ্যার সাথে 1 হর হিসেবে থাকে। তাই হর 1 হলে তা পূর্ণসংখ্যা হয়ে যাবে। মনে রাখতে হবে পূর্ণসংখ্যাও মূলদ সংখ্যা।

আর q এর মান 0 হতে পারবেনা। কারণ, হর 0 হলে ভগ্নাংশের মান নির্ণয় করা সম্ভব নয়। অর্থাৎ তা অসংজ্ঞায়ীত হয়ে যায়। তাই q এর মান 0 হওয়া সম্ভব নয়।

আর 0 এর ছোট সংখ্যাগুলো ঋণাত্মক সংখ্যা। এখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা হতে হবে।

√2 অমূলদ সংখ্যা এর প্রমাণ (ভিডিও)

√2, √5 ও √7 অমূলদ সংখ্যা এর প্রমাণ

[বিঃদ্রঃ √2,√5,√7 ইত্যাদির প্রমাণও একই রকম। তারপরও কেউ না পারলে কমেন্ট করুন। আমি সেই প্রমানটাও করে দেওয়া চেষ্টা করবো।]

আরো অনেক কিছু শিখতে ট্রিক ব্লগ বিডির সাথে থাকুন।